SOMMAIRE.

Ce rapport rappelle les principales définitions concernant les granulaires de constituants, notamment les grammaires CS. Puis il introduit la notion de grammaires CS de reconnaissance, ce qui permet en particulier de démontrer sloplement la stabilité de l'intersection relativement à la classe des langages CS. Plusieurs langages CS, de nature arithmétique, sont ensuite décrits; ainsi il est montré que l'ensemble des nombres premiers constitue un tel langage. En conclusion, l'énoncé de deux résultats permet d'inclure la classe des langages CF matricielles et celle des langages CPP dans la classe des langages CS.

Ce sont des sytèmes formels dont le but est de décrire la construction des phrases de langages artificiels par modifications succes­sives portant sur des suites de symboles. Formellement, une grammaire de constituants est la donnée d'un quadruplet:;

- , vocabulaire terminal, est un sous-ensemble de if\ dont le complé­mentaire, (J^ , est appelé vocabulaire non-terminal; - S est un symbole distingue de 1/^ , désigné symbole initial.

Les symboles — éléments de vT— seront représentés par des ca­pitales latines habituelleiaent indicées, et les suites finies de tels symboles, ou mots — éléments du monotde libre [jf construit sur \f— par des capitales latines surmontées d'u accent circonflexe.

obtenu en écrivant le mot B à droite du mot A, Formellement:

alors C = A B = A, ... A B. ... B .

On dira que A, b et C sont des mots de longueur respectivement égale à n, m et n + m, et on écrira: j r € 3L: r = (A,B) avec la restriction A jÉ UC .

i.

est une phrase de $s si et seulement si on peut dériver X de S' Wn X dérive de A par %.

§ 1, GKAl-iL'JAïIUâ DE RECONNAISSANCE ASSOCIEE À UN LANGAGE CS.

1.1. Soit JL un langage CS engendré par une grammaire ^ du type rappelé ci-dessus. Nous allons définir une grammaire équivalente à ^: • ( \TT , U£ , S , Xr ) .

- Le symbole initial et les symboles terminaux sont ceux de tj. On trouve de plus les éléments de

. règles terminales, ^ : VT € t£ î ([fJ.T^) £ %. si et seulement si (A,T) 6 %.

Comme pour la grammaire il résulte du choix des règles de par iX/j. et X dérive de [ ^ J par £r . Ainsi à toute S-dérivation de X, selon ^, décomposable en (cf. ci-dessus) :

et réciproquement.

d (<jr> - ii^> - ^.

mot terminal (X € \y ? , et | X J = n ) nous pouvons toujours envisager

une S-dérivation, selon 'Qy , telle que l'application des rèsles initiales r S' Wn ~ T aboutisse au mot ■ -s- I ; mais cette dérivation ne sera fructueuse que si X est une phrase du langage S,. c'est-à-dire si la Srammaire £ , par ses règles ^r et % , le "reconnaît" telle. On dira indifféremment que ^ engendre ou accepte X.

N. B. : Comme dans le cas des grammaires CS ordinaires J "L ^ 1 ^ on peut aussi envisager des grammaires CS de reconnaissance avec marquant d'extrémités de phrases, noté f. L'introduction d'un tel marquant ne modifie pas la capacité gênérative dè nos grammaires,

. L'intersection de deux langages CS est CS.

symboles spéciaux à ^ . D'après le paragraphe 1,1, on peut définir une grammaire de reconnaissance l^ équivalente à (J^^ dont l'ensemble des symboles non-terminaux, mis à part S. , est noté IT et l'ensemble des On va construire une grammaire CS de reconnaissance, avec marquant

^ = (o- , ■ vT , S , # , 1) qui engendre = j X | X ê ^ et X € J?2 j- .

- Vocabulaire: Le vocabulaire terminal de ^ est U^, ; le vocabulaire non-terminal 0^ comporte en plus des symboles distingués S et #, les

Nous voulons définir une grammaire de reconnaissance qui n'accepte que les phrases appartenant simultanément à ^ ^ et £ . Etant donné un mot terminal X, nous vérifierons donc d'abord, à l'aide des règles de &r , que X est une phrase de JJ^ ; si c'est le cas, et alors seulement, par des règles intermédiaires nous passerons à l'étude de la reconnaissance de X par la grammaire , à l'aide des règles de % .Et les règles de

(yr nous permettront de passer au niveau terminal X, si et seulement si X appartient à l'intersection ^ fl J?, .

Le lecteur vérifiera facilement que le principe signalé plus haut se trouve respecté par le choix de ces règles, % accepte les phrases X

et le symbole terminal [ .

Nous allons décrire les règles de la grammaire ^(!) en indiquant les dérivations qu'elles permettent. L'idée directrice est la suivante: on passe de | n! à | (n + 1)! en "copiant" (n + 1) fois le première phrase | n' :

Par la suite les symboles X et Y désigneront un symbole quelconque de l/j , les restrictions faites seront seules indiquées.

D'une façon générale s'il s'agit du passage de | n! à | ^n + cette étape recommence (n - 1) fois.

. ( C2"Y , BY"' ) ou ( C!-' # , B # ).

achèvent un développement complet (dans l'exemple choisi on aboutira à: # A^B^ # ), et l'on pourra recommencer un nouveau développemnt (on passerait à: # A"*B*^ # ) ou appliquer les :

2.3. 3G'ne exemple Vi i * 2 : = { I*' I n € jN } .

En s'inspirant de la grammaire ^j(') on Peut trouver une grammaire CS engendrant ö£/~^ L * " ^e*a nous permet de donner dans le cadre des langages CS un énoncé du "théorème" de Fermât énonçant que les équations pour n entier supérieur ou égal à 3, n'admettent pas de solutions à valeurs entières, "il est facile de vérifier que cela revient à poser: Vi.i€A/,i* 3 : a(1).ot(i)) - 0 et l'intersection (cf. § 1.2.) étant stables relativement à la classe des langages CS, on peut définir une grammaire CS engendrant le langage du premier membre de l'cgalité précédente. Malheureusement le problème général, de savoir si le langage engendré par une grammaire CS est vide, est indécidable.

Nous avons aussi démontré £ 5 J que le langage ^(p) = { lp j p€lW,p premier } est CS.

Mais ici nous allons présenter une grammaire CS engendrant les nombres premiers écrits sous forme décimale.

§ 3. NOMBRES PREMIERS DECIMAUX ET LANGAGES CS.

L'ensemble des nombres premiers, écrits sous forme décimale usuelle, est un langage CS. DEMONSTRATION:

où: - le vocabulaire terminal, U^, , est l'ensemble des chiffres,

- le vocabulaire non terminal, OC , comporte en plus des deux symboles distingués S et # , tous les sumboles du type:

- les règles de la grammaire ^ vont Stre divisées en trois groupes. I. Kègles_initiales:

c € IÇ - {0} .

Faisons ici l'hypothèse que le symbole S n'intervient pas dans les autres règles et que ces dernières n'agissent que sur les symboles du type

indicés ou placés à l'extrémité gcuche: il en résulte que toute #S#-dérivation commencera par une séquence:

Elles seront décrites formellement ci-dessous; signalons ici qu'il s'agit de règles conservant la longueur et que leur but est de déterminer si, oui ou non, le nombre N,

N = Vn - 1 c2Ci est premier. Dans ce but N va être "divisé" par les nombres D, compris Ainsi, en cours de déribation on passe par le mot non terminal:

, i.e.

et l'on bloque la dérivation, N n'étant pas pronier.

Il en résulte que si et seulemnt si N est premier on aboutit eu

si R ^ 0, après la (k + l)-ème soustraction de D, la présence de Distinguons donc les différentes étapes et les différents cas

N - mD = r.

Les chiffres r^ , d^ > ^ , sont quelconques, seule existe la restriction signalée, r^ i= 0. Cette remarque vaut pour toutes les autres règles.

B. *l = 0 : il s'agit de vérifier si (N - oD) n'est pas nul.

Nous nous intéressons «iniquement aux chiffres de la ligne supérieure, aussi les règles précédentes peuvent, sans aucune confusion, se mettre sous la forme; (_o] # -? fo'l#

étant bien «ntendu que les deux chiffres inférieurs sont quelconques (à remarquer toutefois qu'ils ne peuvent être indicés) et ne sont pas modifiés par ces règles. Cette remarque nous permettra de simplifier l'écriture de certaines règles (Tout au plus pourrait-on ajouter de nouveaux indices à la ligne supérieure),

on introduit la retenue (évidemment égale à 1) en utilisant l'indice^ " B. Avec retenue:

L'indice <* •«jui apparaît à la ligne inférieure, indique que N n'est pas divisible par D: il va permettre de passer à la division par (D + 1) grâce au:: règles suivantes.

dérive de S, selon la grammaire ^. Il resterait à.-voir que la grammaire ^ n'engendre pas, ou plutôt "n'accepte pas" d'autres nombres. On resrcjuera que les règles doivent être appliquées dans l'ordre de leur présentation s:, l'on veut que la dérivation aboutisse à une phrase.

Pour cela on considérera l'apparition et la disparition des

iadtces qui commandent, en quelque so*te ., l'enchaînement des étapes. Ainsi s'achève la démonstration du résultat annoncé ;

n I N nombre premier décimal } .

est un langage OS.

ci-dessus à la première règle terminale applicable. Elle était nécessaire,

/ [0 et en continuent d'appliquer les règles transformation, au mot |N alors d^ = ^ et notre nouvelle grammaire "n'accepte pas" N.

2°) Nous allons donner une nouvelle grammaire CS engendrant le langage :

o£(p) = j \P I p e (N, p premier } .

Auparavant, donnons un ensemble de règles CS permettant de passer de l'écriture décimale d'un endier naturel p à son écriture "en bâtons".

. Règles CS de passage de # p # à # 1 p & . Soit p = on«in . x ... c^ .

Nous allons distinguer 3 cas suivant la valeur du chiffre des unités.

car si N est premier, la grammaire %, nous permet d'aboutir au mot d est un chiffre quelconque.

le passage de q à (q - 1) ( 1< q£p ) exige, dans le cas où le chiffre des unités de q est nul, l'intervention d'une retenue.

Nous sommes maintenant en mesure de définir une grammaire engendrant dt(p) :

_ \y'= VU I o', I j- , l-^étant le vocabulaire terminal et non terminal de la grammaire ^? étudiée ci-dessus.

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